خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كلو قبل ما تصل للهدف.
في رهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس ماشي على صيغة إفلاس المقامر. برأس مال $500، ورهانات $10، وهدف $600، حتصل للهدف حوالي 57% من المرات وحتفلس في الباقي.
السؤال
عندك a وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كلو الشلتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرّر قدّر شنو منو حتخاطر بيهو في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كلّو ← وداير تصل لـa + b وحدة، وإنت بتراهن بوحدة وحدة في كل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، بيدفع 1:1.اقرا الكلام كلّو ← باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← ربح p = 18/37 واحتمال خسارة q = 19/37. احتمال إنك تصل للهدف قبل ما تصل للصفر كم؟ الإجابة حسبها باسكال وفيرما وهويغنز في خمسينيات القرن الـ17، ودي من أقدم النتائج في علم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(الوصول للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كلو قبل ما توصل هدف أو عدد دورات معيّن.اقرا الكلام كلّو ← هو واحد ناقص ده. ومع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة بتكبر أُسّيًا مع عدد الوحدات، فالصيغة بتعاقب الوحدات الصغيرة عقاب شديد: كل ما الهدف احتاج رهانات أكتر، كل ما الـ2.70% اتدفعت مرات أكتر في الطريق.
كيف تقرأها
الوحدات الأصغر بتضر. لو حاولت تضاعف $500 برهانات $10 بتنجح 6% من المرات؛ وبرهان واحد بمبلغ $500 بتنجح 48.6% من المرات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، بيرفع احتمال الوصول للهدف لأعلى حدّ في لعبة قيمتها المتوقعة سالبة، لأنو بيقلّل لأقصى حدّ عدد المرات البتنطبق فيها الميزة. لكن برضو بيرفع تباينرياضياتالتباينمقياس بيوضّح النتائج متفرّقة قدّر شنو حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كلّو ← البيحصل ليك لأعلى حدّ، وبينهي الليلة بسرعة. المبرهنة اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل» وبرهنها دوبنز وسافيج سنة 1965.
المسألة بدت من وين
السؤال أقدم من الروليت. في 1656 باسكال طرح على فيرما لغز: لاعبين اتنين بيرموا تلاتة زهر، وكل واحد بيبدأ بـ12 قطعة عدّ؛ الرمية البيكون مجموعها 11 بتنقل قطعة في اتجاه، والبيكون مجموعها 14 في الاتجاه التاني. الاتنين حلّوهو، وهويغنز، السمع بيهو في جواب من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشرو سنة 1657 كالمسألة الخامسة في أول كتاب عن الاحتمالات، مع الإجابة ومن غير برهان. الحداشر ممكن يطلع بـ27 طريقة والأربعتاشر بـ15 بس، فكل قطعة بتتحرّك ناحية اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة الفوق، مع 12 قطعة لكل واحد، بتخلّي احتمال إنو يكسب كل شي حوالي 1,157 ضعف احتمال إنو يخسر كل شي. ميزة 2.70% أصغر بكتير، لكن نفس الصيغة بتوضّح بتعمل شنو على رهانات كتيرة.
رهان جريء حقيقي
في أبريل 2004 آشلي ريفيل (Ashley Revell)، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كل الكان بيملكو، حتى هدومو، وشال $135,300 لكازينو Plaza في لاس فيغاس. وبعد كم رهان صغير ختّ المبلغ كلو على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ←، مرة وحدة. الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيّرة البيطلقوها في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكور الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرا الكلام كلّو ← وقعت في 7 الأحمر وطلع ومعاهو $270,600. في عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ← مزدوج الدورة الوحدة دي كان احتمالها 47.37% وكلّفتو في المتوسط $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو نفس الهدف اتوزّع على رهانات $10، كان حيكون تقريبًا ما في أمل. اللعب الجريء ما بيخلّي الرهان كويس؛ بيخلّيه أقصر ما يكون.
خطر الإفلاس من غير هدف
لو إنت ببساطة بتلعب لحدّ ما تفلس أو بتقيف بعد N دورة، السؤال بيبقى «احتمال إنو رأس مالي يلمس الصفر جوّا N دورة كم؟». ما في صيغة مقفولة لأي N، لكن المحاكيات في الموقع ده بتحسبو: رأس مال $500 برهانات $10 على الأحمر تقريبًا أبدًا ما بيفلس في 100 دورة (أقل من 1%)، وبيفلس حوالي 9% من المرات في 500 دورة، وحوالي 95% من المرات في 5,000. ومن غير قاعدة وقوف الاحتمال بيمشي نحو 100%، ودي صورة أفضلية الكازينورياضياتأفضلية الكازينوالنسبة من كل مبلغ رهان البيحتفظ بيها الكازينو في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.اقرا الكلام كلّو ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
بيصمد قدر شنو، وبيتقدّم لحدّ وين
في نتيجتين كلاسيكيتين كمان بيجاوبوا على أسئلة اللاعبين بيسألوها فعلًا. من غير هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة بتعيش في المتوسط 37 دورة لكل وحدة من رأس مال اللعب في العجلة الأوروبية و19 في الأمريكية، لأنو كل دورة بتشيل 1/37 من الوحدة في المتوسط (1/19 في العجلة الأمريكية): 100 وحدة بتعيش 3,700 دورة في المتوسط، مع إنو نص الجلسات دي بتنتهي جوّا 3,134 (عاين مدة الجلسة وتكلفتها). ومهما كبر رأس المال، احتمال إنك في يوم تكون رابح k وحدة في العجلة الأوروبية هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة واحدة و58% لعشرة، لكن ما في رأس مال، مهما كان كبير، بيديك احتمال النص إنك في يوم تكون رابح 13 وحدة؛ وفي العجلة الأمريكية الاحتمال (9/10)ᵏ وبينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس مال لاحتمال النص
اقلب السؤال: لازم تجيب معاك كم عشان يكون عندك احتمال النص على الأقل إنك تكسب مبلغ معيّن قبل ما تخسر كل شي؟ لربح صغير، ما كتير. لكن لربح أكبر رأس المال اللازم بيطلع بسرعة، وبعد حدّ معيّن ما في رأس مال بيكفي، لأنو حتى رأس المال الما بيخلص بيديك احتمال أقل من النص إنك في يوم تكون رابح القدر ده. وتايلور (2021) بيقولها بطريقة تانية: في العجلة الأمريكية، عشان يكون عندك احتمال النص تصل لـ100 وحدة لازم تبدأ بـ94، يعني بتخاطر بـ94 عشان تكسب 6. وفي العجلة الأوروبية حتحتاج 88.
الدرس العملي
حدّد إنت داير تعمل شنو. لو الهدف ربح معيّن، راهن كبير وقليل. لو الهدف ليلة طويلة، راهن صغير واقبل إنو الميزة حتشيل الـ2.70% حقّتها من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي الراهنت بيهو في جلسة أو فترة، ومعاهو المكاسب الراهنت بيها تاني. وبيسمّوهو برضو: handle، action.اقرا الكلام كلّو ← كبير. ولو الهدف الاتنين، لازم حاجة تتنازل عنها، وفي الغالب بتكون الهدف.
الصيغة
أسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل شنو وما بيعمل شنو.اقرا الكلام كلّو ← بيقلّلو في الجلسات القصيرة وبيرفعو شديد في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ في كل دورة. وده الأساس البيقارنوا بيهو أي تدرّج.اقرا الكلام كلّو ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة عشان تقلّلو.
الصيغة الفوق للدفع المتساوي. في الرهانات العالية التباين، الإفلاس أرجح بمبالغ الرهان الصغيرة، والوصول للهدف بيجي متقطّع أكتر؛ استعمل الحاسبة.
كل خطوة نحو الهدف احتمالها أقل شوية من كل خطوة نحو الإفلاس؛ والنسبة بتتراكم على عدد الخطوات.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها براك أول. كل حل مطوي؛ افتحو لمّن تكون جاهز.
معاك $100 وداير توصل $1,000، وبتراهن على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ← بس. الخطة الأولى: تراهن بمبلغ $1 في كل مرة. الخطة التانية: تراهن بكل الفي إيدك لحدّي ما تتعدّى $500، وبعد داك بالمبلغ البيكفي بس عشان توصل $1,000. ياتا خطة أحسن، وبفرق قدر شنو؟
عرض الحل
الإجابة الخطة التانية، والفرق كبير شديد. بتوصل $1,000 في حوالي 9.0% من المرات، قريب من نسبة الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فبتنجح حوالي 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيها طرف عندو أفضلية: كل رهان قيمتو المتوقعة صفر.اقرا الكلام كلّو ← حتوصل $1,000 من $100 مرة من كل عشرة مهما عملت، لأنو متوسط قيمة قروشك بيفضل $100.
الميزة بتشيل 2.70% من كل رهان، فكل ما يكون مجموع رهاناتك أقل، بتفضل أقرب لمرة من كل عشرة. والخطة التانية بتحسم الموضوع في رهانات قليلة: $100 بتبقى $200، وبعدين $400، وبعدين $800، وبعد داك $200 بتكفي. فبتنجح في حوالي 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فبتحتاج آلاف الرهانات قبل ما المشوار ينتهي، والميزة، الصغيرة في كل رهان، بتتراكم لحدّي ما الإفلاس يبقى شبه مؤكّد.
دي نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط صورة (إبستين، 2013): في لعبة مايلة لصالح الكازينو، راهن بقدر ما محتاج، وبأقل عدد مرات ممكن.
معاك $500 وداير توصل $1,000، وحتقيف أول ما توصلها. بتختار نوع واحد من الرهانات وبتكرّرو لحدّي ما يكسب مرة واحدة أو القروش تنتهي. ياتو نوع بيدّي أحسن احتمال؟
عرض الحل
الإجابة رهان واحد بمبلغ $500 على الأحمر: 48.6%. وأي خطة بتوزّع القروش على رهانات أصغر نتيجتها أسوأ.
اختار كل مبلغ رهان بحيث إنو كسب واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، بيدفع 35:1.اقرا الكلام كلّو ← بتكسب $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، بيدفع 17:1.اقرا الكلام كلّو ← بتكسب $1,020، وهكذا. وبعد داك احسب احتمال إنو رهان واحد على الأقل يكسب قبل ما القروش تنتهي. ستاشر رهان على الرقم الواحد بمبلغ $30 بتخيب كلها باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فبتوصل $1,000 في 35.5% من المرات.
الجدول بيوضّح كل رهان. الأحمر هو الأحسن لأنو بيوصل في رهان واحد، فالميزة بتندفع مرة واحدة بس، على $500. وبعدو رهان الصفينرهانرهان الصفينستة أرقام في صفين جنب بعض، بيدفع 5:1. بالفرنسي: sixain.اقرا الكلام كلّو ← لأنو محتاج تلاتة رهانات بس. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12، أو 13–24، أو 25–36، بيدفع 2:1.اقرا الكلام كلّو ← الواحد هو الأسوأ، احتمالو 12/37؛ وحتى لو اتلعب بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← قيمتها $250 لحدّي ما توصل $1,000 أو أكتر، الدزينة ما بتوصل إلا في 46.4% من المرات.
وبولمان (2024) بيعمل نفس الجدول للعجلة الأمريكية. وفي صف الدزينة عندو غلطة: الصاح 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال الوصول إلى $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%إنت بتراهن بوحدة واحدة على الأحمر، دورة ورا دورة، ومعاك رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ كلو الشلتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرّر قدّر شنو منو حتخاطر بيهو في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كلّو ← ما بينتهي أبدًا. بعد أول دورة بتكون كسبان وحدة أو خسران وحدة. شنو احتمال إنك ترجع في يوم من الأيام للتعادل بالضبط؟
عرض الحل
الإجابة 36 من 37، يعني 97.3%. وفي العجلة الأمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
لو كسبت أول دورة (18 مرة من 37) بتكون كسبان وحدة، والميزة بتجرّ أي جلسة ما ليها نهاية لتحت، فحتعدّي بنقطة التعادل تاني عاجلًا أو آجلًا: ده مؤكّد. ولو خسرت (19 مرة من 37)، لازم تطلع وحدة واحدة، واحتمال إنك تكون كسبان وحدة في يوم من الأيام هو 18/19 (عاين الجدول الفوق).
مع بعض: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وبصورة عامة الاحتمال بيساوي 1 ناقص الفرق بين احتمال إنك تكسب الدورة واحتمال إنك تخسرها: 1 − 1/37 في العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 في الأمريكية. وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ← الفرق بيكون ولا حاجة والاحتمال 1: الحصيلة دايمًا بترجع للتعادل. وإبستين (2013) بيدّي القاعدة العامة.
لغز باسكال سنة 1656: لاعبين اتنين بيرموا تلاتة زهرات نرد، وكل واحد بيبدأ بـ12 قطعة عدّ. كل 11 بتنقل قطعة للاعب الأول، وكل 14 بتنقل قطعة للتاني؛ والرميات التانية ما بتنحسب. شنو احتمال إنو اللاعب الأول يشيل القطع الـ24 كلها؟ ولو بدل كدا ختّيت 1 وحدة على الأحمر في كل دورة قدّام صاحبك البيلعب دور البنك، وكل واحد فيكم معاهو 12 وحدة، شنو احتمال إنك تشيل الوحدات الـ24 كلها؟
عرض الحل
الإجابة اللاعب الأول بيكسب حوالي 1,157 مرة من 1,158. أما إنت، على الأحمر، فبتشيل الوحدات الـ24 كلها في حوالي 34% بس من الحالات.
تلاتة زهرات نرد بتدّي 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة بتتحرّك بتمشي للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولمّن كل طرف يبدأ بـ12، احتمال إنو يشيل كل حاجة هو 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف التاني لاحتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال حوالي 0.99914: يعني نسبة 9¹² إلى 5¹²، أو 282,429,536,481 إلى 244,140,625، حوالي 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر الأعداد دي ذاتها سنة 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: فاحتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. العملة كانت حتدّي 50%. وميزة الـ2.70% في كل رهان بتتراكم، على الرهانات الكتيرة الإنت محتاجها، لحدّي ما تبقى فجوة 16 نقطة.
استراحة ضحك
اللعب الجريء هو الأمثل. وبرضو بيخلص بسرعة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”