مسألة: عجلة أعياد الميلاد
كم دورة لحدي ما رقم يتكرر؟ أقل بكتير من البيخمّنو أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد في عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المرقّمة في الدوّار. وبيسمّوها برضو: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كلّو ←: بعد 8 دورات بس، في احتمال يفوق النصف إنو رقم ما يكون ظهر مرتين. اللاعبين بيقروا التكرار كأنو نمط؛ لكنو السلوك المتوقع من عجلة عادلة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية عادلة. بعد كم دورة احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← إنو دورتين على الأقل يطلّعوا نفس الرقم بيتعدّى النص؟ أغلب اللاعبين بيخمّنوا حوالي 18 أو 19، يعني نص 37. الإجابة 8.
الحل
احسب احتمال إنو ما في تكرار واطرحو من واحد. بعد k دورة، p(كلهم مختلفين) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). لما k = 8: الناتج 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، فـp(تكرار ما) ≈ 0.56. لـk = 14 بيكون 0.93؛ ولـk = 20 بيكون 0.996. الإحساس بيغلط لأنو عدد أزواج الدورات بيكبر زي k²، وأي زوج ممكن يتطابق.
ليه ده مهم في الطاولة
لوحة نتائج لآخر 20 رقمًا تقريبًا دايمًا حتوريك تكرار واحد على الأقل، وكتير مرتين أو تلاتة. اللاعبين بيشوفوا «17 ظهر مرتين في عشرة دورات» وبيقرروا إنو 17 ساخن؛ لكن حساب عيد الميلاد بيقول إنو التكرار خلال عشرة دورات بيحصل 74% من المرات والرقم المتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ المعنى ما حقيقي.
المسألة التابعة
كم دورة لحدي ما رقم محدد، مثلًا 17، يظهر مرتين؟ ده سؤال تاني وإجابتو أكبر بكتير: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال ظهور 17 مرتين خلال 20 دورة حوالي 10%. الفرق بين «رقم ما بيتكرر» (8 دورات) و«الرقم ده بيتكرر» (74 دورة) هو كل الفرق بين نمط بتلاحظو بعدين وتوقّع بتعملو من قبل.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشرة دورات وعاين السجل. غالبًا حتلقى تكرار. شغّلها تاني. الرقم المتكرر حيكون مختلف. اعمل كدا عشرة مرات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلاددايرين كم زول عشان يكون مرجّح إنو اتنين منهم عيد ميلادهم في نفس اليوم، أو كم دورة عشان يكون مرجّح إنو رقم يتكرّر. في عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات كفاية عشان الاحتمال يكون أكبر من النص.اقرا الكلام كلّو ←؛ واعملها ألف مرة (المحاكيات بتقدر) وتكون قستها.
الصيغة
أسئلة
بالضبط، بـ37 خانة بدل 365 يوم. 23 شخصًا بيدّوا 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات بيدّوا 56% في العجلة.
50% بعد حوالي 19 دورة. برضو حاجة عادية.
لا. آلاف الدورات من عجلة واحدة ممكن تدل؛ التكرار أبدًا ما بيدل.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها براك أول. كل حل مطوي؛ افتحو لمّن تكون جاهز.
لوحة نتائج جنب عجلة أمريكية بتورّي آخر 16 دورة. شنو احتمال إنو ما في رقم يظهر فيها مرتين؟
عرض الحل
الإجابة حوالي 2.5%: تقريبًا 39 لوحة من كل 40 بتورّي تكرار واحد على الأقل.
امشي دورة دورة. الدورة الأولى ممكن تكون أي حاجة. التانية لازم تفوتها: 37 فرصة من 38. التالتة لازم تفوت الاتنين: 36 من 38. والستاشر لازم تفوت خمستاشر رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة الما فيها تكرار هي النادرة. واللوحة الفيها تكرار ما بتقول أي حاجة عن العجلة.
في عشرة دورات لعجلة أوروبية، شنو احتمال إنو 17 يظهر خمسة مرات بالضبط؟ وإنو رقم ما، أي رقم، يظهر خمسة مرات أو أكتر؟ وإنو رقم ما يظهر تلاتة مرات على الأقل في أربعة دورات؟
عرض الحل
الإجابة 17 خمسة مرات بالضبط: 1 من 315,576. رقم ما خمسة مرات أو أكتر: حوالي 1 من 8,333. رقم ما تلاتة مرات أو أكتر في أربعة دورات: 1 من 349.
17 خمسة مرات: اختار ياتم خمسة من العشرة دورات، 252 طريقة، كل واحدة باحتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. مع بعض، 1 من 315,576.
رقم ما: كل واحد من الـ37 رقم عندو احتمال 1 من 308,325 إنو يصيب خمسة مرات أو أكتر، وده بيدّي 37 من 308,325، أي 1 من 8,333. الحالة النادرة الفيها رقمين كل واحد صاب خمسة مرات بتنحسب مرتين، لكن شيلها ما بيغيّر حاجة بالدقة دي.
تلاتة مرات في أربعة دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ ولأي واحد من الـ37 رقم، 145/37³ = 1 من 349.
في عجلة بصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ← مزدوج، الأرقام المقابلة هي 1 من 359,275 و1 من 9,243 و1 من 368. والفرق بين «17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلاددايرين كم زول عشان يكون مرجّح إنو اتنين منهم عيد ميلادهم في نفس اليوم، أو كم دورة عشان يكون مرجّح إنو رقم يتكرّر. في عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات كفاية عشان الاحتمال يكون أكبر من النص.اقرا الكلام كلّو ← مرة تانية: في 37 طريقة ممكن تتفاجأ بيها.
استراحة ضحك
في حاجة بتتكرر بدري. والحاجة دي عشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.