مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال برهان أساسي $10 في طاولة حدّها $500. بينكسر كم مرة، وبيخسر قدر شنو لمن ينكسر، ورفع الحد بيفيد ولا لا؟
ستة خسارات ورا بعض بتكسرو: 1.8% في كل حلقة، وحوالي 60% من جلسات الـ100 دورة. الكسرة بتكلّف $630. رفع الحد لـ$5,000 بيخلي الكسرة أندر (0.25% في الحلقة) وأكبر ($5,110). الخسارة المتوقعة لكل دولار بتراهن بيهو 2.70% مع أي حد.
المسألة
لاعب بيراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ← وبيضاعف بعد كل خسارة، وبيرجع للبداية بعد أي كسبة. الحد الأقصى للطاولة $500. (a) كم خسارة ورا بعض بتكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة بتغيّر مبلغ الرهان على حسب النتائج الفاتت. التدرّجات السلبية بترفعو بعد الخسارة، والإيجابية بعد الكسب.اقرا الكلام كلّو ←؟ (b) شنو الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← في الحلقة؟ (c) بيضيع قدر شنو عند الكسرة؟ (d) حد $5,000 بيغيّر الإجابات كيف؟ (e) في أي حد بيخلي النظام مربح؟
الحلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع حيكون 640 > 500، فستة خسارات بتكسرو. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، حوالي 1.8% في الحلقة. الحلقة بتقعد حوالي دورتين في المتوسط، فجلسة من 100 دورة فيها تقريبًا 50 حلقة وp(كسرة واحدة على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) المجموع 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، وده 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← أساسية، مقابل الـ$10 الكانت الحلقة دايرة تكسبها.
الحل (d)
مع حد $5,000: مسموح بمبالغ لحدي 2,560؛ والرهان العاشر، 5,120، بيترفض. تسعة خسارات بتكسرو: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في الحلقة، حوالي 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة عند الكسرة: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب اشترى كارثة أندر بتمن كارثة أكبر. على جلسات كتيرة التكلفة المتوقعة للكسرات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في الحلقة مع حد $500 و0.0025 × 5,110 = $12.8 مع $5,000؛ الاتنين قريبين لكن ما متساويين، وكل واحد فيهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في المبلغ الكلي الراهنت بيهو؛ يعني متوسط المبلغ البيضيع في جلسة أو في فترة.اقرا الكلام كلّو ← للحلقة زائد الـ$10 البتكسبها الحلقات الكسبانة.
الحل (e)
لا. الخسارة المتوقعة في الحلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، مع أي حد، لأنو كل رهان −1/37 من نفسو. الحد بيقرر بس الخسارة بتتوزع كيف بين كسبات صغيرة كتيرة وخسارات كبيرة قليلة. بدون حد ومع رأس مال لعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كلو الشلتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرّر قدّر شنو منو حتخاطر بيهو في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كلّو ← ما بينتهي التدرّج كان «حينجح»، بمعنى إنو أبدًا ما حينكسر، لكنو برضو كان حيراهن بمبلغ ما ليهو حد وخسارتو المتوقعة 2.70% من المبلغ داك. حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحدّ الأدنى والحدّ الأقصى المسموح بيهم للرهان. والحدّ الأقصى هو البيوقّف تدرّجات المضاعفة.اقرا الكلام كلّو ← ما هو الحاجة البتمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل شنو وما بيعمل شنو.اقرا الكلام كلّو ← من إنو ينجح. الحساب هو البيمنعو.
طاولتين حقيقيتين
مثال ثورب طاولة بـ$1 حدّها الأقصى $1,000، لاعب فيها داير يكسب $30 حق عشاء دولار ورا دولار. المبالغ 1، 2، 4 … 512 بتسمح بعشرة رهانات، فعشرة خسارات ورا بعض بتكسر التدرّج: مرة في 785 حلقة في العجلة الأوروبية (مرة في 613 في الأمريكية)، بتكلفة $1,023. التلاتين حلقة كلها بتنجح 96.2% من المرات. الـ3.8% الباقية بتخسر حوالي $1,000، ومتوسط نتيجة السهرة −$9.17، وده بالضبط 1/37 من الـ$339 البتراهن بيها التلاتين حلقة في المتوسط. طاولة $5 حدّها الأقصى $2,000 ما مختلفة: المبالغ لحدي $1,280 بتسمح بتسعة رهانات، والكسرة بتجي مرة في 403 حلقة في العجلة الأوروبية (مرة في 323 في الأمريكية) وبتكلّف $2,555.
لاعب غني
أدّي التدرّج رأس مال كبير بدل حد منخفض: 1,000 وحدة، رهان أساسي وحدة واحدة و1,000 دورة على الأحمر، ويرجع يبدأ بوحدة واحدة كل ما المضاعفة الجاية تكون أكبر من الباقي. نحن عملنا محاكاة لمليون سهرة زي دي. في العجلة الأوروبية 52% بيخلصوا كسبانين، و21% بيخسروا كل حاجة، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. حتى في لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ←، كل رهان فيها عادل، حوالي 60% بس حيخلصوا كسبانين. السهرة العادية كسبة صغيرة؛ والمتوسط بتدفعو السهرات البتخلص في الصفر.
الدرس
الكازينوهات بتفرض الحدود عشان تحدد تباينهارياضياتالتباينمقياس بيوضّح النتائج متفرّقة قدّر شنو حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كلّو ← هي، ما عشان تهزم الأنظمة. هزيمة مارتينغال أثر جانبي هم مبسوطين بيهو، والحساب كان حيهزمو في كل الأحوال. اللاعب القايل الحد هو المشكلة لقى الجرف وفكّرو هو المنحدر.
الصيغة
أسئلة
بيخليك تصمد لحدي حد أعلى، البتكون فيهو الكسرة أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة لكل دولار ما بتتغير.
المبالغ 10، 30، 70، 150، 310: حد الـ$500 بيتلمس بعد خمسة خسارات، والكسرة بتكلّف $570. نفس الـ2.70%.
عشان لاعب واحد ما يقدر يراهن بأكتر من البيقدر احتياطي الكازينو يدفعو بارتياح. إدارة تباين.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها براك أول. كل حل مطوي؛ افتحو لمّن تكون جاهز.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل شنو وما بيعمل شنو.اقرا الكلام كلّو ← بيبدأ بمبلغ $100 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ← وبيسمح لنفسو بـn رهان على الأكتر في كل حلقة: بعد n خسارة على التوالي بيستسلم وبيبدأ من جديد. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الواحدة كصيغة بدلالة n، واحسبو لـ5 و6 و7 رهانات في عجلة أوروبية.
عرض الحل
الإجابة المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ)، يعني −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. لمّن تسمح برهانات أكتر متوسط الحلقة بيبقى أسوأ، ما أحسن.
الحلقة بتكسب $100 إلا لو الـn رهان كلها خسرت، ودي بتحصل باحتمال qⁿ، وq = 19/37. ولمّن كلها تخسر، مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). فالمتوسط هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، يعني أكتر من 1 بشوية، فـ(2q)ⁿ بيكبر مع n والمتوسط بينزل: n = 5 بتدّي 1.1426 يعني −$14.26؛ وn = 6 بتدّي 1.1735 يعني −$17.35؛ وn = 7 بتدّي 1.2052 يعني −$20.52. السلّم الأطول بيخسر مرات أقل، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، لكن كل خسارة بتكون أكبر بمرتين، وقروش أكتر بتعدّي على الطاولة في كل حلقة، وعلى كل رهان 2.70%.
وفي العجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ← 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالضبط مهما طوّل السلّم.
«مارتينغال الكبير» بيضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة وبيزيد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← واحدة، فمبالغ الرهان بتمشي 1، 3، 7، 15، 31 … بتكون كسبان قدر شنو لمّن أول كسبة تجي في الرهان الأول أو التاني أو التالت أو في الرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحدّ أقصى $500، الحلقة بتنكسر كم مرة، والحلقة بتكلّف كم في المتوسط؟
عرض الحل
الإجابة الكسبة في الرهان رقم k بتخلّيك كسبان k وحدة: +1، +2، +3 وهكذا. وبوحدة $10 وحدّ $500 الحلقة بتنكسر بعد خمسة خسائر، في 3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وفي المتوسط الحلقة بتخسر $2.32 من $85.73 اتراهن بيها: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع مبالغ أول k − 1 رهان هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والكسبة في الرهان رقم k بتدفع 2ᵏ − 1، فالحلقة بتنتهي وإنت كسبان (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة عن كل خسارة قبل الكسبة.
بوحدة $10 مبالغ الرهان بتكون $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ والبعدو، $630، بيتعدّى الحدّ الأقصى $500. وخمسة خسائر على التوالي، (19/37)⁵ = 3.57%، بتكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: الكسبات بتجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 إلى 5، والانكسار بيشيل $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط المبلغ الاتراهن بيهو $85.73 في الحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي في نفس الطاولة فبينكسر بعد ستة خسائر، في 1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، وبيخسر $1.74 من $64.20 اتراهن بيها: 2.70% تاني.
لاعب ناوي يلعب مارتينغال على الأحمر برهان أول $1 في طاولة حدّها $1,000، فممكن يعمل عشرة رهانات: $1 و$2 و$4 وهكذا لحدّي $512. الحلقة بتخسر العشرة كلها كم مرة، ده بياخد كم في المتوسط، وكم مرة ليلة من 200 رهان بتنتهي كدا؟
عرض الحل
الإجابة الحلقة بتخسر العشرة كلها تقريبًا مرة من كل 784، ودي بتكلّف $1,023. يعني حوالي 1,600 رهان في المتوسط، وليلة من 200 رهان بتضرب في الحيطة في حوالي 11% من الحالات. ومع كدا الحلقة بتخسر في المتوسط $0.31 من $11.31 اتراهن بيها: 2.70%.
رهان الأحمر بيخسر باحتمال 19/37، والصفر داخل في الحساب. وعشرة على التوالي: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني حوالي 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة بتاخد 2.05 رهان في المتوسط، فالـ784 حلقة بتاخد حوالي 1,600 رهان. ولو حسبت دورة دورة، سلسلة من عشرة خسائر بتظهر في أي مكان جوّا 200 رهان في 11.3% من الحالات.
بين كارثة والتانية اللاعب بيكسب $1 في كل حلقة: حوالي $783 قبل الحلقة الشينة، وبعدين −$1,023، يعني حوالي −$240 على الفترة كلها. وفي كل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والقروش الاتراهن بيها في كل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن ده برهان أول $10 في حدّ $500، يعني ستة رهانات: الحيطة بتجي مرة في كل 55 حلقة، وليلة من 200 رهان بتضرب فيها في 84% من الحالات. الحدّ الأعلى بيخلّي الانهيار أندر وأكبر، ما أرخص.
استراحة ضحك
أندر وأكبر، مع كل حد. وحاصل الضرب ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.