التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
المتوسط بيستقر كيف ناحية −2.70%، وليه ده بياخد وقت أطول من الإحساس بيقولو.
متوسط الخسارة في الدورة بيقرب من −1/37 كل ما الدورات تكتر، وتشتتو بيصغر زي 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر المتوسط غالبًا بيكون في حدود ±3% من قيمتو المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري لرهانات مستقلة بيمشي ناحية القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة البتطلع من كل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان في كل رهان أوروبي عادي.اقرا الكلام كلّو ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي بـوحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← واحدة، متوسط النتيجة في الدورة قيمتو المتوقعة −1/37 وانحرافو المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة العادية بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكلام كلّو ← 1/√N. لما N = 100 التشتت ده بيكون 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربعة أضعاف الإشارة البتساوي 2.7%. لما N = 1,000 بيكون 3.2%، تقريبًا قدر الإشارة. لما N = 10,000 بيكون 1%، والميزة بتظهر بوضوح. الميزة ما بتبين في جلسة واحدة، وفي سنة ما ممكن تغلط فيها.
الحاجة البتتقارب والحاجة الما بتتقارب
المتوسط في الدورة بيتقارب. المجموع لا: ده بيبعد من الصفر أكتر كل ما N تكبر، بحوالي 2.7% من N في المتوقع، وبتشتت √N حوالين القيمة دي. لاعب لعب 10,000 دورة بـ$10 المتوقع يكون خسران $2,700، زيادة أو ناقص $1,000. النسبة الجارية لـالأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ← استقرت من زمان قريب من 48.65%؛ لكن الرصيد الجاري ما استقر في أي مكان.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
الإحساس بيغلط ليه
الناس بيتوقعوا الميزة تظهر بسرعة عشان 2.70% بتبان كتيرة، وبيتوقعوا السلاسل الطويلة «تتعادل» عشان قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتائج المستقلة بيقرّب من القيمة المتوقعة كل ما عدد التجارب يزيد.اقرا الكلام كلّو ← بيقول إنو المتوسطات بتتقارب. الإحساسين الاتنين بيغلطوا في المقياس: الميزة صغيرة مقارنة بـتباينرياضياتالتباينمقياس بيوضّح النتائج متفرّقة قدّر شنو حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كلّو ← الدورة الواحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فبتحتاج (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة عشان تبين بقدر سيغما واحدة. وتقارب المتوسط ما بيعمل أي حاجة عشان يرجّع المجموع لورا؛ هو بس بيخفف التذبذبات الفاتت.
التقارب في باقي الرهانات
في رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، بيدفع 35:1.اقرا الكلام كلّو ← σ = 5.84، فنفس الحساب بيدّي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة عشان الميزة تصل سيغما واحدة. البيراهن على الرقم الواحد ممكن يلعب سنين والميزة ما بتتفرز من الحظ في سجلاتو هو، وهو بيدفع نفس الـ2.70% بالضبط البيدفعها البيراهن على الأحمر والبيشوفها في كم أسبوع.
ده معناهو شنو لاختبار الأنظمة
أي زول بيقول إنو نظام بينجح لازم يقدر يثبت ده على 10,000 دورة أو أكتر بمتوسط موجب موثّق. في 1,000 دورة المتوسط الموجب على الدفع المتساوي حدث بيحصل مرة من خمسة تحت فرضية العدم؛ وفي 100 دورة تقريبًا زي رمية عملة. والمحاكيات في الموقع ده بتشغّل 2,000 جلسة بالطول البتختارو في ثانية واحدة، ودي أدلة أكتر من أي شهادة.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← إنك ترجع كسبان تاني في أي وقت بيقل ناحية الصفر كل ما تلعب. والمجموع بينزل بدون حد.
لا. معناهو إنو التذبذبات الفاتت بتبقى جزء أصغر من عينة أكبر.
في الدفع المتساوي، حوالي 10,000 قبل ما الميزة تظهر بوضوح. وفي رهانات الرقم الواحد، حوالي 50,000.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها براك أول. كل حل مطوي؛ افتحو لمّن تكون جاهز.
صاحبين بيلعبوا 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيها طرف عندو أفضلية: كل رهان قيمتو المتوقعة صفر.اقرا الكلام كلّو ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ← ضد الأسودرهانالأسودرهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنسي: noir.اقرا الكلام كلّو ← والرهانات بترجع عند الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ←، وبيسجّلوا النتيجة أول بأول. عِدّ الجولات الكان فيها كل واحد متقدّم (التعادل بينحسب للكان متقدّم قبله طوالي). ياتو الأرجح: إنو التقدّم يتقسم 10 جولات مقابل 10، ولا إنو واحد فيهم يكون متقدّم في الـ20 جولة كلها؟
عرض الحل
الإجابة إنو واحد يكون متقدّم في الـ20 جولة كلها أرجح بكتير: 35.2%، أيًّا كان الصاحب، مقابل 6.1% للتقسيم المتساوي 10 مقابل 10.
احتمال إنو النتيجة أول بأول في لعبة عادلة تكون متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، اسمها قانون قوس الجيب، بتقول إنو احتمال إنو صاحب محدّد يكون متقدّم في 2k جولة بالضبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
التقدّم في الـ20 جولة كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل صاحب، و35.2% لأي واحد فيهم. والتقسيم المتساوي: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وده أقل تقسيم احتمالًا على الإطلاق.
يعني في اللعبة العادلة التقدّم نادرًا ما بينتقل من إيد لإيد. واللاعب الفضل متقدّم طول الليلة، أو متأخّر طولها، ما شاف أي حاجة غريبة، وده ما بيقول أي حاجة عن العجلة ولا عن المهارة. وإبستين (2013) بيدّي نفس القانون للألعاب الأطول: في نص الحالات الطرف المحظوظ أكتر بيكون متقدّم في أكتر من 85% من اللعب.
استراحة ضحك
المتوسط بيتقارب. والمجموع ساكت بيمشي.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.