معيار كيلي والروليت
معيار كيلي بيوري المراهن العندو ميزة يراهن بقدر شنو. وفي الروليت بيدّي إجابة واضحة: ولا حاجة.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الدفع. ولو الميزة سالبة الصيغة بتطلّع نسبة سالبة، ومعناها: ما تراهن. ومع كدا المعيار مفيد عشان تفهم ليه لاعبين الانحياز حددوا رهاناتهم بالطريقة دي، وليه أي زول تاني لازم يحدد رهانو حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: المقامر العندو ميزة معروفة يحدد رهاناتو كيف عشان يكبّر رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كلو الشلتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرّر قدّر شنو منو حتخاطر بيهو في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كلّو ← لأقصى حد على المدى الطويل؟ والإجابة، لرهان بيدفع b مقابل 1 باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← كسب p واحتمال خسارة q = 1 − p، إنك تراهن بنسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. لو f* موجبة راهن بالنسبة دي؛ لو صفر أو سالبة ما تراهن. كيلي كان شغّال في مختبرات بل، وبحثو «A new interpretation of information rate» (تفسير جديد لمعدل المعلومات) ختّ المسألة جوّة نظرية المعلومات حقّت كلود شانون: المقامر البتصلو المعلومات على خط فيهو تشويش، بنسب دفع عادلة، أقصى ما يقدر يكبّر رأس المال بنفس المعدل البينقل بيهو الخط المعلومات. وفي 1961 أثبت ليو بريمان إنو رهان كيلي، على المدى الطويل، بيخلص متقدّم على أي استراتيجية مختلفة عنو جوهريًا، وبيصل لهدف محدد في أقصر وقت تقريبًا.
رهان كيلي في الروليت
لـالأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكلام كلّو ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. لـرهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، بيدفع 35:1.اقرا الكلام كلّو ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان قياسي بيدّي نسبة كيلي سالبة، لأنو كل رهان ميزتو سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هو صفر. رهان كيلي في الروليت طريقة رسمية تقول بيها نفس الكلام البتقولو صفحة أفضلية الكازينو: ما في مبلغ بيخلي رهان قيمتو المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
وين كيلي اتطبّق بجد
لاعبين الانحياز كان عندهم ميزة ومشكلة في تحديد المبالغ. جاغر وعيلة غارسيا بيلايو واليودايمونيين، كلهم كان لازم يقرروا يراهنوا بقدر شنو على الميزة القاسوها؛ الرهان بأقل من اللازم بيضيّع الميزة، والرهان بأكتر من اللازم بيخاطر بالإفلاس قبل ما الميزة تظهر. لـخانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المرقّمة في الدوّار. وبيسمّوها برضو: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كلّو ← بتصيب 1 من 30، كيلي بيقول 0.57% من رأس المال في كل دورة على الرقم ده: برأس مال $10,000، حوالي $57 في الدورة، لنمو نموذجي حوالي 0.054% في الدورة، يعني ×1.7 خلال 1,000 دورة. متوسط الكسب ضعف كدا، 0.11% في الدورة، لكن كيلي بيستهدف رأس المال النموذجي ما المتوسط، البتنفخو كم سلسلة محظوظة. ونص كيلي هو الاختيار العملي المعتاد لأنو تقدير الميزة ما مضمون.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي والمتوسط كبير. شيل خانة بتظهر 1 من 25 مرة، يعني ميزة 44%، وده الرقم البيدّيهو ثورب لجهازو. كيلي بيراهن عليها بنسبة 1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة رأس المال النموذجي بيكون كبر حوالي 11.5 مرة، لكن المتوسط، البترفعو كم سلسلة محظوظة شديد، بيكون كبر حوالي 249 مرة. الرهان بأكتر من كيلي بيرفع المتوسط وبينزّل النتيجة النموذجية: بضعف مبلغ كيلي رأس المال النموذجي بيتضاعف بس، وبمرتين ونص مبلغ كيلي بيصغر، مع إنو كل رهان لسه فيهو ميزة 44%. أما الرهان بأقل فتمنو قليل: نص المبلغ بيحافظ على حوالي تلاتة أرباع النمو.
لمن الميزة تكون تخمين
كيلي بيفترض إنو الميزة معروفة. في الطاولة الميزة بتتقدّر، والتقدير غالبًا بيطلع أعلى من الحقيقة. مثال إبستين، المبني على الـ44% حقّت ثورب، رقم ظهر 49 مرة في 1,225 دورة على عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة الما بيغطّيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ مصدر أفضلية الكازينو. وبيسمّوهو برضو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كلّو ← مزدوج: 1 من 25 مرة، يعني ميزة 44% ومبلغ كيلي 1.26%. لكن العجلة العادلة بصفر مزدوج فيها 38 رقمًا، وأكتر رقم فيهم ظهورًا بيصل 49 أو أكتر في 1,225 دورة حوالي مرة من تسعة. وأكتر رقم ظهورًا في أي سجل هو برضو الرقم الساعدو الحظ أكتر، فحتى الخانة المنحازة بجد بتبان في السجل أحسن من حقيقتها: لعنة الفائز. ولو الخانة دي في الحقيقة ما منحازة، مبلغ كيلي بيبقى ساكت رهان بيخسر 5.26% في المتوسط. والحلول المعتادة إنك تراهن بجزء من كيلي، وتواصل العد لحدي ما الميزة تصمد في سجل جديد (عاين «كيف تكشف انحياز عجلة الروليت»).
ناس عندهم ميزة
إنك تعرف الميزة حاجة، وإنك تستعملها صاح حاجة تانية. هاغاني وديوي (2016) أدّوا 61 شخصًا $25 لكل واحد عشان يراهنوا نص ساعة على عملة قالوا ليهم بتجي وش 60% من المرات، والكسب عندو سقف $250 (اللاعبين ما عرفوا بالسقف إلا لمن وصلوهو). كيلي بيقول راهن بنسبة 20% من رأس المال على الوش كل مرة، والباحثين بيقدّروا إنو رهانات ثابتة من 10–20% كانت حتصل السقف حوالي 95% من المرات. لكن بس 21% من اللاعبين وصلوا. 28% فلّسوا، و18 من الـ61 راهنوا بكل حاجة على رمية واحدة، وحوالي التلت خلّصوا بأقل من الـ$25 البدوا بيها، ومتوسط الدفعالمالالدفعالبيرجّعو الرهان الكسبان، وبيقولوهو بصيغة «X مقابل 1» فوق مبلغ الرهان البيرجع.اقرا الكلام كلّو ← كان $91. وخمسة بس من الـ61 كانوا سمعوا بمعيار كيلي. لو عندك ميزة، حجم الرهانات هو البيقرر حتحافظ عليها ولا لا؛ وبدونها، زي في عجلة عادلة، ما في حجم بينفع.
تستعمل شنو بدلو
بدون ميزة، تحديد المبلغ مسألة ميزانية ما مسألة نمو: مبلغ الرهان = القدر الإنت مستعد تصرفو في كل دورة، طالع من ميزانية الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). الحاجة البيقدّمها كيلي للاعب العادي هي وضوح إجابتو: صفر. وأي حاجة بتراهن بيها فوق الصفر هي تمن اللعب، إنت البتختارو، وما في صيغة بتحسّنو.
ملاحظة عن كيلي الجزئي و«إدارة القروش»
الأنظمة البتتباع على أساس إنها «كيلي للروليت» وبتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال في كل رهان هي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ في كل دورة. وده الأساس البيقارنوا بيهو أي تدرّج.اقرا الكلام كلّو ← بمبلغ بيصغر. بتخسر 2.70% من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي الراهنت بيهو في جلسة أو فترة، ومعاهو المكاسب الراهنت بيها تاني. وبيسمّوهو برضو: handle، action.اقرا الكلام كلّو ←، ولأنو المبلغ بيصغر كل ما تخسر، بتخلي الإفلاس بطيء ما بعيد. دي طريقة معقولة تطوّل بيها الميزانية؛ لكنها ما كيلي، البيقول ليك تقيف.
الصيغة
أسئلة
بس لو في ميزة مقاسة من عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة عيوبها المادية بتخلّي بعض الخانات احتمالها أكبر من 1/37. نادرة، وما بتنكشف إلا بآلاف الدورات المسجّلة.اقرا الكلام كلّو ← أو من جهاز توقيت. ما على عجلة عادلة.
لأنو تقدير الميزة فيهو غلط، والرهان بأكتر من اللازم تكلفتو أكبر من الرهان بأقل. نص كيلي بيدّي تلاتة أرباع النمو بربع التباينرياضياتالتباينمقياس بيوضّح النتائج متفرّقة قدّر شنو حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كلّو ←.
لا. كيلي بيحسّن النمو لمن تكون في ميزة. وإدارة رأس المال بتضبط الصرف لمن ما تكون في ميزة.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها براك أول. كل حل مطوي؛ افتحو لمّن تكون جاهز.
جهاز التنبؤ العملوهو ثورب وشانون كان بيدّي ميزة حوالي 44%. وعلى رقم واحد متنبّأ بيهو، معيار كيلي بيقول تراهن بنسبة 1.26% من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كلو الشلتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرّر قدّر شنو منو حتخاطر بيهو في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كلّو ←. طيب لو نفس الميزة، 44%، جات على رهان واحد موزّع على خمسة أرقام جنب بعض؟
عرض الحل
الإجابة وقتها معيار كيلي بيقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال بيكبر أسرع بحوالي ستة مرات: حوالي 1.25 مليون ضعف خلال 1,000 رهان، مقابل حوالي 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، بيدفع 35:1.اقرا الكلام كلّو ← بميزة 44% بيكسب باحتمال 0.04، لأنو 36 × 0.04 = 1.44. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/35 = 1.26%. والنمو النموذجي في كل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، فالـ1,000 رهان بتضرب رأس المال في حوالي e^2.44 ≈ 11.5.
لو وزّعت مبلغ رهان واحد على خمسة أرقام، الرهان بيكسب باحتمال 0.20 وبيدفع 36/5 لكل 1، يعني 6.2 مقابل 1: الميزة لسه 44%، لأنو 0.2 × 7.2 = 1.44. ومبلغ كيلي بيبقى 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو في كل رهان 0.01404، يعني حوالي 5.75 ضعف. وخلال 1,000 رهان ده بيساوي e^14.04، يعني حوالي 1.25 مليون.
الميزة نفسها؛ لكن الطلوع والنزول أصغر. فالرهان البيكسب مرة من كل خمسة بيقدر يشيل نصيب أكبر من رأس المال من غير ما يخاطر بالإفلاس، ونمو كيلي بيكافئ ده. وثورب (1984) بيستعمل المثال ده عشان يوضّح ليه لاعبين التنبؤ بيراهنوا على القطاعاتالعجلةالقطاعقوس متّصل من الخانات في العجلة، ما زي المجموعة الفي لوحة الرهان.اقرا الكلام كلّو ←. وفي الواقع خمسة جيرانرهانالجيرانرقم والخانتين الفي كل جهة منو في العجلة، يعني خمسة فيش رهان رقم واحد.اقرا الكلام كلّو ← ميزتهم أقل شوية من أحسن رقم براهو (عاين اللعب بميزة).
لاعب لقى خانتينالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المرقّمة في الدوّار. وبيسمّوها برضو: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كلّو ← جنب بعض، كل واحدة فيهن بتظهر 1 من 25 بدل 1 من 37. يراهن على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، بيدفع 17:1.اقرا الكلام كلّو ← البيناتهن بدفع 17 مقابل 1، ولا على كل رقم برهان الرقم الواحد؟ كيلي بيقول كم، ورأس المال بيكبر بسرعة قدر شنو مقارنة بخانة واحدة من النوع ده؟
عرض الحل
الإجابة ما في فرق: 2.59% من رأس المال على رهان الرقمين، أو 1.29% على كل رقم. ورأس المال النموذجي بيكبر حوالي 155 مرة في 1,000 دورة، مقابل 11.5 مرة مع خانة واحدة.
رهان الرقمين بيكسب بـاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إنو نتيجة تحصل، من 0 لحدّي 1 أو من 0% لحدّي 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كلّو ← 2/25 = 0.08 وبيدفع 17 مقابل 1، فبيرجّع 18 × 0.08 = 1.44 عن كل وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي البيشتغل بيهو النظام أو اللاعب. التدرّجات بيوصفوها بالوحدات عشان تنفع في أي طاولة.اقرا الكلام كلّو ← اتراهن بيها: ميزة 44%، زي خانة منحازة واحدة بالضبط. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/17 = 2.59%.
رهانين على الرقم الواحد بنسبة 1.29% لكل واحد بيدّوا نفس النتايج بالضبط. لمّن واحد من الرقمين يظهر، فيشةالمالالفيشةقطعة بتمثّل مبلغ ثابت، بتختّها في لوحة الرهان عشان تعمل رهان. وبيسمّوها برضو: check.اقرا الكلام كلّو ← بتكسب 35 مقابل 1 والتانية بتخسر، والصافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، زي ما بيدفع رهان الرقمين؛ ولمّن ما يظهر ولا واحد فيهم، التنين بيخسروا.
النمو في كل دورة 0.00505، مقابل 0.00244 لخانة واحدة، فخلال 1,000 دورة رأس المال النموذجي بيكبر e^5.046 ≈ 155 مرة بدل e^2.44 ≈ 11.5 مرة. يعني رقمين كويسين بيسووا أكتر بكتير من ضعف رقم واحد، وعشان كدا لاعبين الانحياز بيراهنوا على مجموعات أرقام. وثورب (1984) بيعمل نفس المقارنة.
استراحة ضحك
المبلغ الأمثل للنمو في الروليت رقم كلنا عارفنو من زمان.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”